Về nguyên lý địa phương - toàn cục cho dạng toàn phương: Luận văn ThS. Toán học: 604601
| Title: | Về nguyên lý địa phương - toàn cục cho dạng toàn phương: Luận văn ThS. Toán học: 604601 |
| Authors: | Phạm, Thị Hương |
| Keywords: | Nguyên lý toán học;Đại số |
| Issue Date: | 2017 |
| Publisher: | H.: Trường Đại học khoa họcTự nhiên |
| Abstract: | • Chương 1: Chúng tôi đã trình bày về nguyên lý Hasse-Minkowski cho dạng toàn phương và nhắc lại một số định nghĩa liên quan như: vành p-adic, trường p-adic, và phương pháp Newton… • Chương 2: Chúng tôi trình bày một số phản ví dụ của nguyên lý Hasse-Minkowski. - Phản ví dụ đơn giản nhất là của Lind và Reichardt: Đường cong giống bằng 1 xác định bởi phương trình là một phản ví dụ nguyên lý Hasse-Minkowski trên Q. Nói cách khác, phương trình này có nghiệm không tầm thường trong với p là số nguyên tố và trên R, nhưng chỉ có nghiệm hữu tỉ tầm thường. - Phản ví dụ của Birch và Swinnerton-Dyer: Mặt del Pezzo trơn bậc 2 được định nghĩa hệ bởi phương trình là một phản ví dụ của nguyên lý Hasse-Minkowski. - Phản ví dụ của W. Aitken và F. Lemmermeyer: Cho hệ phương trình thuần nhất Diophantine , trong đó 1. q là một số nguyên tố sao cho modulo 16, 2. d khác không, không có ước chính phương và không chia hết cho q. 3. d là một bình phương, nhưng không là một lũy thừa bậc 4 modulo q, 4. q là một lũy thừa bậc 4 modulo p với mọi p là ước nguyên tố lẻ của d. Khi đó hệ phương trình nói trên có nghiêm địa phương nhưng không có nghiệm toàn cục: nó không có nghiệm trên . - Giải một số bài tập được nêu ra trong bài báo Counterexamples to the Hasse principle của W. Aitken và F. Lemmermeyer. Bài tập 1: Cho là một số nguyên tố. Gọi là một bộ ba -tập trung nếu nhiều nhất một trong các thành phần chia hết cho . Chỉ ra rằng bất kì nghiệm nguyên thủy của phương trình (mod ) đều là -tập trung. Bài tập 2: Cho và phương trình modulo có nghiệm -tập trung. Chứng minh rằng là một bình phương modulo . Từ đó suy ra nếu modulo có nghiệm - tập trung với mọi , khi đó là một bình phương modulo . Bài tập 3: Từ định lý Legendre và sử dụng các bài tập trên hay chỉ ra rằng nếu phương trình mdulo có nghiệm -tập trung với mọi số nguyên tố lẻ , và phương trình có nghiệm không tầm thường trong thì phương trình có nghiệm nguyên không tầm thường. Bài tập 4: Từ Định lý Legendre hãy suy ra nguyên lý Hasse đối với phương trình . Bài tập 5: Chứng minh hệ có nghiệm modulo 2 (thậm chí modulo ) nhưng không có nghiệm nguyên thủy modulo . Bài tập 6: Xét hệ phương trình , trong đó là các số lẻ. Chứng minh rằng: nếu hệ trên có nghiệm nguyên thủy modulo 16, thì hệ có nghiệm với và - Chúng tôi đã chỉ ra họ phản ví dụ của W. Aitken và F. Lemmermeyer là vô hạn. Hơn nữa, bằng cách áp dụng định lý mật độ Chebotarev cho mở rộng , với nhóm Galois của mở rộng là nhóm dihedral có cấp bằng 8, ta chỉ ra được rằng mật độ của số nguyên tố q với modulo 8 sao cho 2 không phải là lũy thừa bậc bốn modulo q 1/8 . |
| Description: | 41 tr. |
| URI: | http://repository.vnu.edu.vn/handle/VNU_123/60164 |
| Appears in Collections: | HUS - Master Theses |
Nhận xét
Đăng nhận xét